Si scrive Insieme o Assieme?

Entrambe le forme possono essere utilizzate. Le due parole sono diverse per etimologia, ma non per significato e funzione.

Possono rivestire la funzione di avverbio (es.: Faremo questo progetto insieme (o assieme)) e di preposizione impropria (es.: Vado alla festa insieme (o assieme) ai miei amici).

Insieme è più antico di assieme; il primo, infatti, è attestato dal XIII secolo, mentre assieme risale alla metà del XV secolo.

Per quanto riguarda l'etimologia,  insieme deriva dal latino classico INSIMUL, composto dal rafforzativo IN e SIMUL (= insieme). Assieme è nato da insieme e ne deriva per scambio di prefisso (ad- con assimilazione della dentale).

Conclusione: ciascuno scriva e/o usi la forma che più gli piace!